Fiind Data o multime finita M, cu n Elemente, multimea tuturor submultimilor acesteia, notata P (M) (inclusiv multimea Vida si multimea insasi), sont cardinalul egal Cu 2 ^ n. L`ensemble de valeurs d`une fonction lorsqu`il est appliqué aux éléments d`un ensemble fini est fini. Delta {B} = {({A} setminus{B})} cup{({B} setminus{A})}. En conséquence, il ne peut exister une bijection entre un ensemble fini S et un sous-ensemble approprié de S. Tout sous-ensemble approprié d`un ensemble fini S est fini et a moins d`éléments que S lui-même. Ainsi, du moins du point de vue de la logique de premier ordre, on peut seulement espérer décrire la finitude approximativement. Daca toate elementele unei multimi A apartin si multimii B, se spune ca multimea A este inclusa in multimea B; notatie: {A} subset{B}. Les implications avancées (de forte à faible) sont des théormes au sein de ZF. Cela peut se produire lorsque le modèle manque les ensembles ou les fonctions nécessaires pour assister à l`infinitude de ces ensembles.

Certains platoniciens pourraient considérer des systèmes formels particuliers comme se rapprocher d`une réalité sous-jacente. Les mathématiciens choisissent plus typiquement de mettre au sol des notions de nombre dans la théorie de l`ensemble, par exemple ils pourraient modéliser des nombres naturels par les types d`ordre des ensembles finis bien ordonnés. Étant donné un ensemble infini Dedekind S, une fonction f, et un élément x qui n`est pas dans l`image de f, nous pouvons former une séquence infinie d`éléments distincts de S, à savoir x, f (x), f (f (x)),. Le semilattice libre sur un ensemble fini est l`ensemble de ses sous-ensembles non vides, avec l`opération de jointure étant donnée par l`Union définie. Le nombre d`éléments d`un jeu fini est un nombre naturel (un entier non négatif) et est appelé la cardinalité de l`ensemble. Ils sont disposés dans l`ordre strictement décroissant de la force. Dedekind finie naturellement signifie que chaque individu-carte injective est également surjective. À cette époque, la théorie des modèles n`était pas suffisamment avancée pour trouver les contre-exemples. Même pour les mathématiciens qui embrassent des ensembles infinis, dans certains contextes importants, la distinction formelle entre le fini et l`infini peut rester une matière délicate.

Intuitivement, K (S) se compose des sous-ensembles finis de S. Deux définitions sont en évidence dans la littérature, l`une due à Richard Dedekind, l`autre à Kazimierz Kuratowski. De même, le produit cartésien de plusieurs ensembles finis fini est fini. Les mathématiciens dominants considèrent le finitisme strict trop confinant, mais reconnaissent sa cohérence relative: l`univers des ensembles finis hereditairement constitue un modèle de Zermelo – Fraenkel théorie de l`ensemble avec l`axiome de l`infini remplacé par sa négation. En l`absence de l`axiome de choix, les implications inverses sont toutes inprouvables. Si l`axiome de choix est supposé, alors tous ces concepts sont équivalents. Ainsi les ensembles infinis de Dedekind contiennent des sous-ensembles qui correspondent bijectivement avec les nombres normaux. Kuratowski est la définition utilisée ci-dessus. En combinatoire, un ensemble fini avec n éléments est parfois appelé un n-Set et un sous-ensemble avec des éléments k est appelé un sous-ensemble k.

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